Functoriality. The assignments $X,Y,\webleft (X,Y\webright )\mapsto \textbf{Sets}_{*}\webleft (X,Y\webright )$ define functors
\begin{gather*} \begin{aligned} \textbf{Sets}_{*}\webleft (X,-\webright ) & \colon \mathsf{Sets}_{*} \to \mathsf{Sets}_{*},\\ \textbf{Sets}_{*}\webleft (-,Y\webright ) & \colon \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*} \to \mathsf{Sets}_{*}, \end{aligned}\\ \textbf{Sets}_{*}\webleft (-_{1},-_{2}\webright ) \colon \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*} \to \mathsf{Sets}_{*}. \end{gather*}
In particular, given pointed maps
\begin{align*} f & \colon \webleft (X,x_{0}\webright ) \to \webleft (A,a_{0}\webright ),\\ g & \colon \webleft (Y,y_{0}\webright ) \to \webleft (B,b_{0}\webright ), \end{align*}
the induced map
\[ \textbf{Sets}_{*}\webleft (f,g\webright )\colon \textbf{Sets}_{*}\webleft (A,Y\webright )\to \textbf{Sets}_{*}\webleft (X,B\webright ) \]
is given by
\[ \webleft [\textbf{Sets}_{*}\webleft (f,g\webright )\webright ]\webleft (\phi \webright )\mathrel {\smash {\overset {\mathclap {\scriptscriptstyle \text{def}}}=}}g\circ \phi \circ f \]
for each $\phi \in \textbf{Sets}_{*}\webleft (A,Y\webright )$.