The left tensor product of pointed sets is the functor1
\[ \lhd \colon \mathsf{Sets}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*} \]
defined as the composition
\[ \mathsf{Sets}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*}\overset {\mathsf{id}\times {\text{忘}}}{\to }\mathsf{Sets}_{*}\times \mathsf{Sets}\overset {\mathbf{\beta }^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathsf{Sets}_{*},\mathsf{Sets}}}{\to }\mathsf{Sets}\times \mathsf{Sets}_{*}\overset {\odot }{\to }\mathsf{Sets}_{*}, \]
where:
- ${\text{忘}}\colon \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}$ is the forgetful functor from pointed sets to sets.
- ${\mathbf{\beta }^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathsf{Sets}_{*},\mathsf{Sets}}}\colon \mathsf{Sets}_{*}\times \mathsf{Sets}\overset {\scriptstyle \mathord {\sim }}{\dashrightarrow }\mathsf{Sets}\times \mathsf{Sets}_{*}$ is the braiding of $\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}$, i.e. the functor witnessing the isomorphism
\[ \mathsf{Sets}_{*}\times \mathsf{Sets}\cong \mathsf{Sets}\times \mathsf{Sets}_{*}. \]
- $\odot \colon \mathsf{Sets}\times \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*}$ is the tensor functor of Item 1 of Proposition 5.2.1.1.6.
1Further Notation: Also written $\lhd _{\mathsf{Sets}_{*}}$.
