The Clowder Project

Let $\webleft (X,x_{0}\webright )$ and $\webleft (Y,y_{0}\webright )$ be pointed sets.

1. Functoriality. The assignments $X,Y,\webleft (X,Y\webright )\mapsto \webleft [X,Y\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}$ define functors
   \[ \begin{array}{ccc} \webleft [X,-\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\colon \mkern -15mu & \mathsf{Sets}_{*} \mkern -17.5mu& {}\mathbin {\to }\mathsf{Sets}_{*},\\ {\webleft [-,Y\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}}\colon \mkern -15mu & \mathsf{Sets}^{\mathrlap {\mathsf{op}}}_{*} \mkern -17.5mu& {}\mathbin {\to }\mathsf{Sets}_{*},\\ {\webleft [-_{1},-_{2}\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}}\colon \mkern -15mu & \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*} \mkern -17.5mu& {}\mathbin {\to }\mathsf{Sets}_{*}. \end{array} \]

   In particular, given pointed maps

   \begin{align*} f & \colon \webleft (X,x_{0}\webright ) \to \webleft (A,a_{0}\webright ),\\ g & \colon \webleft (Y,y_{0}\webright ) \to \webleft (B,b_{0}\webright ), \end{align*}

   the induced map

   \[ \webleft [f,g\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\colon \webleft [A,Y\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\to \webleft [X,B\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}} \]

   is given by

   \[ \webleft [f,g\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (\webleft [\webleft (y_{a}\webright )_{a\in A}\webright ]\webright )\mathrel {\smash {\overset {\mathclap {\scriptscriptstyle \text{def}}}=}}\webleft [\webleft (g\webleft (y_{f\webleft (x\webright )}\webright )\webright )_{x\in X}\webright ] \]

   for each $\webleft [\webleft (y_{a}\webright )_{a\in A}\webright ]\in \webleft [A,Y\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}$.

2. Adjointness I. We have an adjunction
   
   witnessed by a bijection of sets
   \[ \textup{Hom}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (X\rhd Y,Z\webright )\cong \textup{Hom}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (Y,\webleft [X,Z\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\webright ) \]

   natural in $\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Y,y_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )\in \text{Obj}\webleft (\mathsf{Sets}_{*}\webright )$, where $\webleft [X,Y\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}$ is the pointed set of Definition 5.4.2.1.1.

3. Adjointness II. The functor
   \[ -\rhd Y\colon \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*} \]

   does not admit a right adjoint.