The $2$-category of (small) categories, functors, and natural transformations is the $2$-category $\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}$ where
- Objects. The objects of $\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}$ are small categories.
- $\mathsf{Hom}$-Categories. For each $\mathcal{C},\mathcal{D}\in \text{Obj}\webleft (\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}\webright )$, we have
\[ \mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{C},\mathcal{D}\webright ) \mathrel {\smash {\overset {\mathclap {\scriptscriptstyle \text{def}}}=}}\mathsf{Fun}\webleft (\mathcal{C},\mathcal{D}\webright ). \]
- Identities. For each $\mathcal{C}\in \text{Obj}\webleft (\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}\webright )$, the unit functor
\[ \mathbb {1}^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathcal{C}} \colon \mathsf{pt}\to \mathsf{Fun}\webleft (\mathcal{C},\mathcal{C}\webright ) \]
of $\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}$ at $\mathcal{C}$ is the functor picking the identity functor $\text{id}_{\mathcal{C}}\colon \mathcal{C}\to \mathcal{C}$ of $\mathcal{C}$.
- Composition. For each $\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E}\in \text{Obj}\webleft (\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}\webright )$, the composition bifunctor
\[ \circ ^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E}} \colon \mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{D},\mathcal{E}\webright ) \times \mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{C},\mathcal{D}\webright ) \to \mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{C},\mathcal{E}\webright ) \]
of $\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}$ at $\webleft (\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E}\webright )$ is the functor where
- Action on Objects. For each object $\webleft (G,F\webright )\in \text{Obj}\webleft (\mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{D},\mathcal{E}\webright )\times \mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{C},\mathcal{D}\webright )\webright )$, we have
\[ \circ ^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E}}\webleft (G,F\webright ) \mathrel {\smash {\overset {\mathclap {\scriptscriptstyle \text{def}}}=}}G\circ F. \]
- Action on Morphisms. For each morphism $\webleft (\beta ,\alpha \webright )\colon \webleft (K,H\webright )\Longrightarrow \webleft (G,F\webright )$ of $\mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{D},\mathcal{E}\webright )\times \mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{C},\mathcal{D}\webright )$, we have
\[ \circ ^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E}}\webleft (\beta ,\alpha \webright ) \mathrel {\smash {\overset {\mathclap {\scriptscriptstyle \text{def}}}=}}\beta \mathbin {\star }\alpha , \]
where $\beta \mathbin {\star }\alpha $ is the horizontal composition of $\alpha $ and $\beta $ of Definition 8.8.4.1.1.
- Action on Objects. For each object $\webleft (G,F\webright )\in \text{Obj}\webleft (\mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{D},\mathcal{E}\webright )\times \mathsf{Hom}_{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}\webleft (\mathcal{C},\mathcal{D}\webright )\webright )$, we have
