The Clowder Project

The category $\mathsf{Sets}_{*}$ admits a right-closed right skew monoidal category structure consisting of:

• The Underlying Category. The category $\mathsf{Sets}_{*}$ of pointed sets.
• The Right Skew Monoidal Product. The right tensor product functor
  \[ \rhd \colon \mathsf{Sets}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*} \]

  of Definition 5.4.1.1.1.

• The Right Internal Skew Hom. The right internal Hom functor
  \[ \webleft [-,-\webright ]^{\rhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\colon \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*} \]

  of Definition 5.4.2.1.1.

• The Right Skew Monoidal Unit. The functor
  \[ \mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*},\rhd } \colon \mathsf{pt}\to \mathsf{Sets}_{*} \]

  of Definition 5.4.3.1.1.

• The Right Skew Associators. The natural transformation
  \[ \alpha ^{\mathsf{Sets}_{*},\rhd } \colon {\rhd }\circ {\webleft (\text{id}_{\mathsf{Sets}_{*}}\times {\rhd }\webright )} \Longrightarrow {\rhd }\circ {\webleft ({\rhd }\times \text{id}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webright )}\circ {\mathbf{\alpha }^{\mathsf{Cats},-1}_{\mathsf{Sets}_{*},\mathsf{Sets}_{*},\mathsf{Sets}_{*}}} \]

  of Definition 5.4.4.1.1.

• The Right Skew Left Unitors. The natural transformation
  \[ \lambda ^{\mathsf{Sets}_{*},\rhd }\colon \mathbf{\lambda }^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathsf{Sets}_{*}} \mathbin {\overset {\mathord {\sim }}{\Longrightarrow }}{\rhd }\circ {\webleft (\mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*}}\times \text{id}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webright )} \]

  of Definition 5.4.5.1.1.

• The Right Skew Right Unitors. The natural transformation
  \[ \rho ^{\mathsf{Sets}_{*},\rhd }\colon {\rhd }\circ {\webleft ({\mathsf{id}}\times {\mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*}}}\webright )}\mathbin {\overset {\mathord {\sim }}{\Longrightarrow }}\mathbf{\rho }^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathsf{Sets}_{*}} \]

  of Definition 5.4.6.1.1.