Let $\webleft (X,x_{0}\webright )$ and $\webleft (Y,y_{0}\webright )$ be pointed sets.
-
Functoriality. The assignments $X,Y,\webleft (X,Y\webright )\mapsto \textbf{Sets}_{*}\webleft (X,Y\webright )$ define functors
\begin{gather*} \begin{aligned} \textbf{Sets}_{*}\webleft (X,-\webright ) & \colon \mathsf{Sets}_{*} \to \mathsf{Sets}_{*},\\ \textbf{Sets}_{*}\webleft (-,Y\webright ) & \colon \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*} \to \mathsf{Sets}_{*}, \end{aligned}\\ \textbf{Sets}_{*}\webleft (-_{1},-_{2}\webright ) \colon \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*} \to \mathsf{Sets}_{*}. \end{gather*}
In particular, given pointed maps
\begin{align*} f & \colon \webleft (X,x_{0}\webright ) \to \webleft (A,a_{0}\webright ),\\ g & \colon \webleft (Y,y_{0}\webright ) \to \webleft (B,b_{0}\webright ), \end{align*}the induced map
\[ \textbf{Sets}_{*}\webleft (f,g\webright )\colon \textbf{Sets}_{*}\webleft (A,Y\webright )\to \textbf{Sets}_{*}\webleft (X,B\webright ) \]is given by
\[ \webleft [\textbf{Sets}_{*}\webleft (f,g\webright )\webright ]\webleft (\phi \webright )\mathrel {\smash {\overset {\mathclap {\scriptscriptstyle \text{def}}}=}}g\circ \phi \circ f \]for each $\phi \in \textbf{Sets}_{*}\webleft (A,Y\webright )$.
-
Adjointness. We have adjunctions witnessed by bijections
\begin{align*} \textup{Hom}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (X\wedge Y,Z\webright ) & \cong \textup{Hom}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (X,\textbf{Sets}_{*}\webleft (Y,Z\webright )\webright ),\\ \textup{Hom}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (X\wedge Y,Z\webright ) & \cong \textup{Hom}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (X,\textbf{Sets}_{*}\webleft (A,Z\webright )\webright ), \end{align*}natural in $\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Y,y_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )\in \text{Obj}\webleft (\mathsf{Sets}_{*}\webright )$.
-
Enriched Adjointness. We have $\mathsf{Sets}_{*}$-enriched adjunctions witnessed by isomorphisms of pointed sets
\begin{align*} \textbf{Sets}_{*}\webleft (X\wedge Y,Z\webright ) & \cong \textbf{Sets}_{*}\webleft (X,\textbf{Sets}_{*}\webleft (Y,Z\webright )\webright ),\\ \textbf{Sets}_{*}\webleft (X\wedge Y,Z\webright ) & \cong \textbf{Sets}_{*}\webleft (X,\textbf{Sets}_{*}\webleft (A,Z\webright )\webright ), \end{align*}natural in $\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Y,y_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )\in \text{Obj}\webleft (\textbf{Sets}_{*}\webright )$.
