Let $\webleft (X,x_{0}\webright )$ and $\webleft (Y,y_{0}\webright )$ be pointed sets.
-
Functoriality. The assignments $X,Y,\webleft (X,Y\webright )\mapsto \webleft [X,Y\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}$ define functors
\begin{gather*} \begin{aligned} \webleft [X,-\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}} & \colon \mathsf{Sets}_{*} \to \mathsf{Sets}_{*},\\ \webleft [-,Y\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}} & \colon \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*} \to \mathsf{Sets}_{*},\\ \end{aligned}\\ \webleft [-_{1},-_{2}\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}} \colon \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*} \to \mathsf{Sets}_{*}. \end{gather*}
In particular, given pointed maps
\begin{align*} f & \colon \webleft (X,x_{0}\webright ) \to \webleft (A,a_{0}\webright ),\\ g & \colon \webleft (Y,y_{0}\webright ) \to \webleft (B,b_{0}\webright ), \end{align*}the induced map
\[ \webleft [f,g\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\colon \webleft [A,Y\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\to \webleft [X,B\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}} \]is given by
\[ \webleft [f,g\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (\webleft [\webleft (y_{a}\webright )_{a\in A}\webright ]\webright )\mathrel {\smash {\overset {\mathclap {\scriptscriptstyle \text{def}}}=}}\webleft [\webleft (g\webleft (y_{f\webleft (x\webright )}\webright )\webright )_{x\in X}\webright ] \]for each $\webleft [\webleft (y_{a}\webright )_{a\in A}\webright ]\in \webleft [A,Y\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}$.
-
Adjointness I. We have an adjunctionwitnessed by a bijection of sets
\[ \textup{Hom}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (X\lhd Y,Z\webright )\cong \textup{Hom}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webleft (X,\webleft [Y,Z\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\webright ) \]natural in $\webleft (X,x_{0}\webright ),\webleft (Y,y_{0}\webright ),\webleft (Z,z_{0}\webright )\in \text{Obj}\webleft (\mathsf{Sets}_{*}\webright )$
-
Adjointness II. The functor
\[ X\lhd -\colon \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*} \]
does not admit a right adjoint.
