The Clowder Project

The category $\mathsf{Sets}_{*}$ admits a left-closed left skew monoidal category structure consisting of:

• The Underlying Category. The category $\mathsf{Sets}_{*}$ of pointed sets.
• The Left Skew Monoidal Product. The left tensor product functor
  \[ \lhd \colon \mathsf{Sets}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*} \]

  of Definition 5.3.1.1.1.

• The Left Internal Skew Hom. The left internal Hom functor
  \[ \webleft [-,-\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\colon \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*} \]

  of Definition 5.3.2.1.1.

• The Left Skew Monoidal Unit. The functor
  \[ \mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*},\lhd } \colon \mathsf{pt}\to \mathsf{Sets}_{*} \]

  of Definition 5.3.3.1.1.

• The Left Skew Associators. The natural transformation
  \[ \alpha ^{\mathsf{Sets}_{*},\lhd }\colon {\lhd }\circ {\webleft ({\lhd }\times \text{id}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webright )}\Longrightarrow {\lhd }\circ {\webleft (\text{id}_{\mathsf{Sets}_{*}}\times {\lhd }\webright )}\circ {\mathbf{\alpha }^{\mathsf{Cats}}_{\mathsf{Sets}_{*},\mathsf{Sets}_{*},\mathsf{Sets}_{*}}} \]

  of Definition 5.3.4.1.1.

• The Left Skew Left Unitors. The natural transformation
  \[ \lambda ^{\mathsf{Sets}_{*},\lhd }\colon {\lhd }\circ {\webleft (\mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*}}\times \text{id}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webright )}\mathbin {\overset {\mathord {\sim }}{\Longrightarrow }}\mathbf{\lambda }^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathsf{Sets}_{*}} \]

  of Definition 5.3.5.1.1.

• The Left Skew Right Unitors. The natural transformation
  \[ \rho ^{\mathsf{Sets}_{*},\lhd }\colon \mathbf{\rho }^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathsf{Sets}_{*}}\mathbin {\overset {\mathord {\sim }}{\Longrightarrow }}{\lhd }\circ {\webleft ({\mathsf{id}}\times {\mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*}}}\webright )} \]

  of Definition 5.3.6.1.1.