The category $\mathsf{Sets}_{*}$ admits a left-closed left skew monoidal category structure consisting of:
- The Underlying Category. The category $\mathsf{Sets}_{*}$ of pointed sets.
- The Left Skew Monoidal Product. The left tensor product functor
\[ \lhd \colon \mathsf{Sets}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*} \]
- The Left Internal Skew Hom. The left internal Hom functor
\[ \webleft [-,-\webright ]^{\lhd }_{\mathsf{Sets}_{*}}\colon \mathsf{Sets}^{\mathsf{op}}_{*}\times \mathsf{Sets}_{*}\to \mathsf{Sets}_{*} \]
- The Left Skew Monoidal Unit. The functor
\[ \mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*},\lhd } \colon \mathsf{pt}\to \mathsf{Sets}_{*} \]
- The Left Skew Associators. The natural transformation
\[ \alpha ^{\mathsf{Sets}_{*},\lhd }\colon {\lhd }\circ {\webleft ({\lhd }\times \text{id}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webright )}\Longrightarrow {\lhd }\circ {\webleft (\text{id}_{\mathsf{Sets}_{*}}\times {\lhd }\webright )}\circ {\mathbf{\alpha }^{\mathsf{Cats}}_{\mathsf{Sets}_{*},\mathsf{Sets}_{*},\mathsf{Sets}_{*}}} \]
- The Left Skew Left Unitors. The natural transformation
\[ \lambda ^{\mathsf{Sets}_{*},\lhd }\colon {\lhd }\circ {\webleft (\mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*}}\times \text{id}_{\mathsf{Sets}_{*}}\webright )}\mathbin {\overset {\mathord {\sim }}{\Longrightarrow }}\mathbf{\lambda }^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathsf{Sets}_{*}} \]
- The Left Skew Right Unitors. The natural transformation
\[ \rho ^{\mathsf{Sets}_{*},\lhd }\colon \mathbf{\rho }^{\mathsf{Cats}_{\mathsf{2}}}_{\mathsf{Sets}_{*}}\mathbin {\overset {\mathord {\sim }}{\Longrightarrow }}{\lhd }\circ {\webleft ({\mathsf{id}}\times {\mathbb {1}^{\mathsf{Sets}_{*}}}\webright )} \]
